Цифровые представления

Цифровые представления – это электронный эквивалент традиционных рукописных сигнатур. Рукописные сигнатуры обеспечивают службу безопасности, потому что уникальность почерка личностей делает сигнатуры интенсивными.

В отличие от почерка индивидуума, электронная информация проста для дублирования. Если электронные сигнатуры использовались таким же образом как письменные сигнатуры, защита легко может быть поставлена под угрозу.

Цифровые представления могут использоваться, чтобы использовать три  криптогафических услуги: идентификацию, неотказ, и целостность данных.  код с исправлением ошибок может использоваться, чтобы генерировать сильные цифровые представления с  маленьким количеством обработки  энергии.

Гам­ми­ро­ва­ние

Гам­ми­ро­ва­ние яв­ля­ет­ся так­же ши­ро­ко при­ме­няе­мым крип­то­гра­фи­че­ским пре­об­ра­зо­ва­ни­ем. На са­мом де­ле гра­ни­ца ме­ж­ду гам­ми­ро­ва­ни­ем и ис­поль­зо­ва­ни­ем бес­ко­неч­ных клю­чей и шиф­ров Ви­жи­не­ра, о ко­то­рых речь шла вы­ше, весь­ма ус­лов­ная.

Прин­цип шифрования гам­ми­ро­ва­ни­ем за­клю­ча­ет­ся в ге­не­ра­ции гам­мы шиф­ра с по­мо­щью дат­чи­ка псев­до­слу­чай­ных чи­сел и на­ло­же­нии по­лу­чен­ной гам­мы на от­кры­тые дан­ные об­ра­ти­мым об­ра­зом (на­при­мер, ис­поль­зуя сло­же­ние по мо­ду­лю 2).

Про­цесс дешифрования дан­ных сво­дит­ся к по­втор­ной ге­не­ра­ции гам­мы шиф­ра при из­вест­ном клю­че и на­ло­же­нии та­кой гам­мы на за­шиф­ро­ван­ные дан­ные.

По­лу­чен­ный за­шиф­ро­ван­ный текст яв­ля­ет­ся дос­та­точ­но труд­ным для рас­кры­тия в том слу­чае, ес­ли гам­ма шиф­ра не со­дер­жит по­вто­ряю­щих­ся би­то­вых по­сле­до­ва­тель­ностей. По су­ти де­ла гам­ма шиф­ра долж­на из­ме­нять­ся слу­чай­ным об­ра­зом для ка­ж­до­го шиф­руе­мо­го сло­ва. Фак­ти­че­ски же, ес­ли пе­ри­од гам­мы пре­вы­ша­ет дли­ну все­го за­шиф­ро­ван­но­го тек­ста и не­из­вест­на ни­ка­кая часть ис­ход­но­го тек­ста, то шифр мож­но рас­крыть толь­ко пря­мым пе­ре­бо­ром (про­бой на ключ). Криптостойкость в этом слу­чае оп­ре­де­ля­ет­ся раз­ме­ром клю­ча.

Ме­тод гам­ми­ро­ва­ния ста­но­вит­ся бес­силь­ным, ес­ли зло­умыш­лен­ни­ку ста­но­вит­ся из­вес­тен фраг­мент ис­ход­но­го тек­ста и со­от­вет­ст­вую­щая ему шиф­ро­грам­ма. Про­стым вы­чи­та­ни­ем по мо­ду­лю по­лу­ча­ет­ся от­ре­зок ПСП и по не­му вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся вся по­сле­до­ва­тель­ность.  Зло­умыш­лен­ни­ки мо­жет сде­лать это на ос­но­ве до­га­док о со­дер­жа­нии ис­ход­но­го тек­ста. Так, ес­ли боль­шин­ст­во по­сы­лае­мых со­об­ще­ний на­чи­на­ет­ся со слов “СОВ.СЕК­РЕТ­НО”, то крип­тоа­на­лиз все­го тек­ста зна­чи­тель­но об­лег­ча­ет­ся. Это сле­ду­ет учи­ты­вать при соз­да­нии ре­аль­ных сис­тем ин­фор­ма­ци­он­ной безо­пас­но­сти.

Ниже рассматриваются наиболее распространенные методы генерации гамм, которые могут быть использованы на практике.

Электронные платы и код с исправлением ошибок

Электроные платы – это маленькие, переносные, устройства противодействия вмешательству, обеспечивающие пользователей с хранением памятью и возможностью обработки. Из-за их уникальной формы, электроные платы предложены для использования в широком разнообразии приложений типа электронной торговли, идентификации, и здравоохранения. Для многих из этих предложенных приложений, требовались бы

криптогафические услуги, предлагаемые цифровыми представлениями. Чтобы быть практическим для широкого применения электроные платы также должны быть недорогими.

Электроная плата поддается  криптогафическому выполнению по нескольким причинам. Плата содержит много особенностей защиты, которые допускают защиту чувствительных криптогафических данных и обеспечивают безопасную среду обработки. Защита секретного ключа критическая; чтобы обеспечивать криптогафические услуги, этот ключ никогда не должен быть показан. Электроная плата защищает секретный ключ, и многие рассматривают ее как идеальную криптогафическую лексему.

Осуществление шифрования с открытым ключом в электроном применении платы излагает многочисленные проблемы. Электроные платы представляют комбинацию связей выполнения, которые другие платформы не делают: сдерживаемая память и ограниченные вычислительные возможности.

Как упомянуто ранее, секретный ключ в общее - ключевой паре должен сохраниться секретным. Для истинного неотказа, секретный ключ должен быть полностью недоступен всем другим сторонам. В приложениях, использующих другие типы используемых в настоящее время криптосистем с ключом общего пользования, платы индивидуализированы  в безопасной среде, чтобы выполнить это требование. Из-за сложности требуемого вычисления,  плата,  неэффективена и обычно непрактичена.

С кодом  исправления ошибок, время, необходимое генерировать ключевую пару настолько коротко, что даже устройство с самыми ограниченными вычислительными возможностями электроной платы может генерировать ключевую пару, если хороший генератор случайных чисел доступен. Это означает, что процесс персонализации платы можно придавать обтекаемую форму для приложений, в которых неотказ является важным.

При подведении итогов, преимущества размера ключа кода с исправлением ошибок предоставляют много выгод для электроных плат, и превосходящая деятельность, предлагаемая выполнением кода с исправлением ошибок  делает приложения выполнимыми в низких конечных устройствах без специализированных аппаратных средств.

Эллиптическая криптография кривой.

После изобретения шифрования с открытым ключом, были предложены многочисленные общее - ключевые системы засекречивания на ее основе.Криптография с открытым ключом может применяться как для шифрования сообщений , так и для аутентификации (так называемая цифровая подпись).

 Каждая из этих систем полагается на трудную математическую проблему для ее защиты. Они являются труднообрабатываемыми, потому что годы интенсивного изучения ведущими математиками и компьютерными учеными не сумели создать эффективные алгоритмы для их решения, так, чтобы практически, они остались труднообрабатываемыми с текущей вычислительной технологией. Требуется  время , чтобы получить безопасный ключ с лучшим известным алгоритмом для этой проблемы.  Обще - ключевая система шифрования, основана на этой проблеме. Эллиптические кривые - математические конструкции, которые изучились математиками начиная с семнадцатого столетия. В 1985  Нейл Коблиц и Виктор Миллер независимо предложили криптосистемы с ключом общего пользования, использующие группу точек на эллиптической кривой, и эллиптическая криптография кривой (код с исправлением ошибок) была рождена. Начиная с того времени, многочисленные исследователи и разработчики потратили несколько лет, исследуя силу кода с исправлением ошибок и улучшая методы для его выполнения. Сегодня более быстрая криптосистема с ключом общего пользования предлагает практическую и безопасную технологию для наиболее сдерживаемой среды.

Код с исправлением ошибок дает самую высокую силу в любой известной криптосистемы с ключом общего пользования из-за трудности жесткой проблемы, на которой это основано. Эта большая трудность жесткой проблемы эллиптической кривой, дискретной проблемы логарифма (ECDLP) означает что меньший размер ключа выдает эквивалентные уровни защиты. Учитывая лучшие известные алгоритмы к целым числам множителя и вычисляют эллиптические логарифмы кривой, размеры ключа  являются эквивалентной силой, основанной на MIPS годах, необходимых, чтобы восстановить один ключ.

Трудность проблемы и заканчивающихся размеров ключа эквивалентной силы предоставляет несколько прямых выгод к выполнению электроной платы.

Классификация крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов

Все мно­го­об­ра­зие су­ще­ст­вую­щих крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов мож­но све­сти к сле­дующим клас­сам пре­об­ра­зо­ва­ний:

Перестановки

Рис.1.1.Классы преобразований симметричных криптосистем.

Многоалфавитная подстановка - наи­бо­лее про­стой вид пре­об­ра­зо­ва­ний, за­клю­чаю­щий­ся в за­ме­не сим­во­лов ис­ход­но­го тек­ста на другие (того же алфавита) по бо­лее или ме­нее слож­но­му пра­ви­лу. Для обес­пе­че­ния вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние боль­ших клю­чей.

Пе­ре­ста­нов­ки - не­слож­ный ме­тод крип­то­гра­фи­че­ско­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ис­поль­зу­ет­ся как пра­ви­ло в со­че­та­нии с дру­ги­ми ме­то­да­ми.

Гам­ми­ро­ва­ние - этот ме­тод за­клю­ча­ет­ся в на­ло­же­нии на ис­ход­ный текст не­ко­то­рой псев­до­слу­чай­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти, ге­не­ри­руе­мой на ос­но­ве клю­ча. 

Блочные шифры  со­бой по­сле­до­ва­тель­ность (с воз­мож­ным по­вто­ре­ни­ем и че­ре­до­ва­ни­ем) ос­нов­ных ме­то­дов пре­об­ра­зо­ва­ния, при­ме­няе­мую к блоку (части) шиф­руе­мого­ тек­ста. Блочные шифры на прак­ти­ке встре­ча­ют­ся ча­ще, чем “чис­тые” пре­об­ра­зо­ва­ния то­го или ино­го клас­са в си­лу их бо­лее вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти. Рос­сий­ский и аме­ри­кан­ский стан­дар­ты шиф­ро­ва­ния ос­но­ва­ны имен­но на этом классе шифров.

   Перестановкой s набора целых чисел (0,1,...,N-1) называется его переупорядочение. Для того чтобы показать, что целое i пере­мещено из позиции i в позицию s(i), где 0 £ (i) < n, будем использовать запись

s=(s(0), s(1),..., s(N-1)).

Число перестановок из (0,1,...,N-1) равно n!=1*2*...*(N-1)*N. Введем обозначение s для взаимно-однозначного отображения (гомо­морфизма) набора S={s0,s1, ...,sN-1}, состоящего из n элементов, на себя.

s: S ® S

s: si ® ss(i), 0 £ i < n

Будем говорить, что в этом смысле s является перестановкой элементов S. И, наоборот, автоморфизм S соответствует пере­становке целых чисел (0,1,2,.., n-1).

Криптографическим преобразованием T для алфавита Zm называется последовательность автоморфизмов: T={T(n):1£n<¥}

T(n): Zm,n®Zm,n, 1£n<¥

Каждое T(n) является, таким образом, перестановкой n-грамм из Zm,n.

Поскольку T(i) и T(j) могут быть определены независимо  при i¹j, число криптографических преобразований исходного текста размерности n равно (mn)![1]. Оно возрастает непропорционально при увеличении m и n: так, при m=33 и n=2 число различных криптографических преобразований равно 1089!. Отсюда следует, что потенциально существует большое число отображений исходного текста в шифрованный.

Практическая реализация криптогра­фических систем требует, чтобы преобразо­вания {Tk: kÎK} были определены алгоритмами, зависящими от относительно небольшого числа параметров (ключей).

Криптосистемы на основе эллиптических уравнений

Эллиптические кривые - математический объект, который может определен над любым полем (конечным, действительным, рациональным или комплексным). В криптографии обычно используются конечные поля. Эллиптическая кривая есть множество точек (x,y), удовлетворяющее следующему уравнению:

y2 = x3 + ax + b,

а также бесконечно удаленная точка. Для точек на кривой довольно легко вводится операция сложения, которая играет ту же роль, что и операция умножения в криптосистемах RSA и Эль-Гамаля.

В реальных криптосистемах на базе эллиптических уравнений используется уравнение

y2 = x3 + ax + b mod p,

где р - простое.

Проблема дискретного логарифма на эллиптической кривой состоит в следующем: дана точка G на эллиптической кривой порядка r (количество точек на кривой) и другая точка Y на этой же кривой. Нужно найти единственную точку x такую, что Y = xG, то есть Y есть х-я степень G.

Многоалфавитные системы. Системы одноразового использования

Слабая криптостойкость моноалфавитных подстановок преодолевается с применением подстановок многоалфавитных.

Многоалфавитная подстановка определяется ключом p=(p1,
p2, ...), содержащим не менее двух различных подстановок. В начале рассмотрим многоалфавитные системы подстановок с нулевым начальным смещением. Пусть {Ki: 0£i<n} – независимые случайные переменные с одинаковым распределением вероятностей,

принимающие значения на множестве Zm

Pкл{(K0, K1, ..., Kn-1)=(k0, k1, ..., kn-1)}=(1/m)n

Система одноразового использования преобразует исходный текст

X=(X0, x1, ..., xn-1)

в шифрованный текст

Y=(Y0, y1, ..., yn-1)

при помощи подстановки Цезаря

Yi=CKi(xi)=(Ki+Xi) (mod m)   i=0...n-1                            (1)

Для такой системы подстановки используют также термин “одноразовая лента” и “одноразовый блокнот”. Пространство ключей К системы одноразовой подстановки является вектором рангов (K0, K1, ..., Kn-1) и содержит mn точек.

Рассмотрим небольшой пример шифрования с бесконечным ключом. В качестве ключа примем текст

 “БЕСКОНЕЧНЫЙ_КЛЮЧ....”.

Зашифруем с его помощью текст “ШИФР_НЕРАСКРЫВАЕМ”. Шифрование оформим в таблицу:

ШИФРУЕМЫЙ_ТЕКСТ		24		8		20		16		19		5		12		27		9		32		18		5		10		17		18
БЕСКОНЕЧНЫЙ_КЛЮЧ		1		5		17		10		14		13		5		23		13		27		9		32		10		11		30
ЩРДЪАТТССЦЪЫДФЬП		25		13		4		26		0		18		17		17		22		26		27		4		20		28		15

Исходный текст невозможно восстановить без ключа.

Наложение белого шума в виде бесконечного ключа на исходный текст меняет статистические характеристики языка источника. Системы одноразового использования теоретически не расшифруемы[3], так как не содержат достаточной информации для восстановления текста.

Почему же эти системы неприменимы для обеспечения секретности при обработке информации? Ответ простой - они непрактичны, так как требуют независимого выбора значения ключа для каждой буквы исходного текста. Хотя такое требование может быть и не слишком трудным при передаче по прямому кабелю Москва - Нью-Йорк, но для информационных оно непосильно, поскольку там придется шифровать многие миллионы знаков.

Посмотрим, что получится, если ослабить требование шифровать каждую букву исходного текста отдельным значением ключа.

Описание алгоритма

Прежде, чем системы засекречивания и соответствующие математические проблемы могут быть обсуждены, должна быть определена трудность проблемы. Алгоритм – это процесс, описывающий проблему , которую нужно решить.

  При поиске математической проблемы,  чтобы базировать криптографическую систему, шифровальщики ищут такую проблему, для которой самый быстрый алгоритм берет показательное время. Чем больше времени требуется, чтобы вычислить лучший алгоритм для этой проблемы, тем более безопасной будет общее - ключевая система шифрования, основанная на той проблеме.

Сегодня должны рассмотреться только три типа безопасных и эффективных систем:

1.                       Целочисленная проблема факторизации (IFP): RSA и Rabin-Уильям.

2.                       Дискретная проблема логарифма (ПРОЦЕССОР ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ).

3.                       Эллиптическая кривая дискретная проблема логарифма (ECDLP).

Рассмотрим каждую систему в отдельности.

Описание задачи

Целочисленная проблема факторизации (IFP): находит p и q, учитывая составное число n, который является произведением двух больших простых чисел p и q.

         Обнаружение больших простых чисел - относительно простая задача, а проблема разложения на множители,  произведение двух таких чисел рассматривается в вычислительном отношении труднообрабатываемым. Базирующиеся на трудности этой проблемы Ривест, Чамир и Адлеман разработали RSA общее - ключевую систему шифрования.

В то время как целочисленная проблема факторизации занимала внимание  известных математиков подобно Фермату и Гауссу  более чем столетия ,только в прошлых 20 годах  был сделан прогресс в разрешении этой проблемы. Имеются две главных причины для этого явления. Сначала, изобретение RSA-системы шифрования в 1978 стимулировало много математиков к изучению этой проблему. И быстродействующие ЭВМ стали доступными для выполнения и испытания сложных алгоритмов. Фермат и Гаусс имели небольшой стимул для изобретения алгоритма разложения на множители решета поля цифр, так как этот алгоритм более громоздкий ,чем испытательное деление с целью разложения на множители целых чисел  вручную.

Алгоритм цифрового представления Американского правительства (системный агент каталога), Diffie-Hellman ключевая схема соглашения, ElGamal кодирование и схемы сигнатуры, Schnorr схема сигнатуры, и Nyberg-Rueppel схема сигнатуры.
Если p - простое число, то Zp обозначает набор целых чисел 0, 1, 2,..., p - 1, где сложение и амплитудное искажение - выполняются с модулем. Известно, что существует ненулевой элемент О Zp такой, что каждый ненулевой элемент в Zp может быть написан как мощность a, такой элемент называется генератором Zp.
Дискретная проблема логарифма (процессор передачи данных) заключается в следующем: учитывая штрих p, генератор Zp, и ненулевой элемент О Zp, находит уникальное целое число  0,1,2,..., p - 2, такое что b принадлежит
 al (mod p). Целое число l называется дискретным логарифмом b к основе a.
Базируясь на трудности этой проблемы, Диффи и Хеллман  предложили известную Diffie-Hellman ключевую схему соглашения в 1976. С тех пор были предложены многочисленные другие криптогафические протоколы, чья защита зависит от процессора передачи данных, включая: Американский правительственный алгоритм цифрового представления (системный агент каталога), ElGamal кодирование и схемы сигнатуры, Schnorr схема сигнатуры, и Nyberg-Rueppel схема сигнатуры.С должным интересом  процессор передачи данных экстенсивно изучился математиками в течение прошлых 20 лет.


Эллиптический аналог кривой системного агента каталога (ECDSA), и эллиптических аналогов кривой Diffie-Hellman ключевой схемы соглашения, ElGamal кодирования и схем сигнатуры, Schnorr схемы сигнатуры, и Nyberg-Rueppel схемы сигнатуры.
Должно быть подчеркнуто, что эти проблемы  являются труднообрабатываемыми, потому что годы интенсивного изучения ведущими математиками и компьютерными учеными не сумели выдать эффективные алгоритмы для  их решения .
Если q - главная мощность, то Fq обозначает конечное поле, содержащее q элементы. В приложениях q - обычно мощность 2 (2m) или вспомогательное простое число (p).
Эллиптическая кривая дискретная проблема логарифма (ECDLP) заключается в следующем: учитывая эллиптическую кривую E определенную по Fq, точка PОE (Fq) порядка n, и точки QОE (Fq), определяются целым числом  0, l, 2,..., n - 1, так что Добротность = lP, при условии, что такое целое число существует.
Базируясь на трудности этой проблемы, Нейл Коблиц и Виктор Миллер независимо друг от друга в 1985 предложили использовать группу точек на эллиптической кривой, определенной по конечному полю, для осуществления различных дискретных систем шифрования логарифма. Один такой криптогафический протокол, который стандартизируется аккредитованными организациями стандартов - эллиптический аналог кривой системного агента каталога, называемого ECDSA.
          Имеется только два главных способа в методах для решения IFP: квадратичный алгоритм разложения на множители решета (вместе с его предшественником, алгоритм разложения на множители цепной дроби), и решето поля цифр. Последний алгоритм возводит в степень некоторую сложную математику (особенно алгебраическая теория номера), и только полностью понят маленьким семейством теоретиков. До появления компьютеров, математики не искали алгоритмы для IFP, которые были эффективны вручную скорее , чем на больших сетях компьютеров. Другой факт, который обычно пропускается - то многое из работы, сделанной на процессоре передачи данных до 1985, также применяется к ECDLP , так как  ECDLP может просматриваться как  похожий на процессор передачи данных, но в различной алгебраической установке.

Подстановка Цезаря

Подстановка Цезаря является самым простым вариантом подстановки. Она относится к группе моноалфавитных подстановок.

Определение. Подмножество Cm={Ck: 0£k<m} симметрической группы SYM(Zm), содержащее m подстановок

Ck: j®(j+k) (mod m), 0£k < m,

называется подстановкой Цезаря.

Умножение коммутативно, CkCj=CjCk=Cj+k, C0 – идентичная подстановка, а обратной к Cк является Ck-1=Cm-k, где 0<k<m. Семейство подстановок Цезаря названо по имени римского императора Гая Юлия Цезаря, который поручал Марку Туллию Цицерону составлять послания с использованием 50-буквенного алфавита и подстановки C3.

Подстановка определяется по таблице замещения, содержащей пары соответствующих букв “исходный текст – шифрованный текст”. Для C3 подстановки приведены в Табл. 1. Стрелка (à) означает, что буква исходного текста (слева) шифруется при помощи C3 в букву шифрованного текста (справа).

Определение. Системой Цезаря называется моноалфа­витная подстановка, преобразующая n-грамму исходного текста (x0, x1 ,..,xn-1) в n?грамму шифрованного текста (y0 ,y1 ,...,yn-1) в соответствии с правилом

yi=Ck(xi), 0£i<n.

Например, ВЫШЛИТЕ_НОВЫЕ_УКАЗАНИЯ посредством подстановки C3 преобразуется в еюыолхиврсеюивцнгкгрлб.

Аàг		Йàм		Тàх		Ыàю
Бàд		Кàн		Уàц		Ьàя
Вàе		Лàо		Фàч		Эà_
Гàж		Мàп		Хàш		Юàа
Дàз		Нàр		Цàщ		Яàб
Еàи		Оàс		Чàъ		_àв
Жàй		Пàт		Шàы
Зàк		Рàу		Щàь
Иàл		Сàф		Ъàэ

Таблица 1.1: Применение подстановки Цезвря.

При своей несложности система легко уязвима. Если злоумышленник имеет

1) шифрованный и соответ­ствующий исходный текст или

2) шифрованный текст выбранного злоумыш­ленником исходного текста,

то определение ключа и дешифрование исходного текста тривиальны.

Более эффективны обобщения подстановки Цезаря - шифр Хилла и шифр Плэйфера. Они основаны на подстановке не отдельных символов, а 2-грамм (шифр Плэйфера) или n-грамм[2] (шифр Хилла). При более высокой криптостойкости они значительно сложнее для реализации и требуют достаточно большого количества ключевой информации.

Программные разложения фунции на множетели

Криптографический алгоритм RSA использует только один тип вычислений – возведение в степень . Показатель степени определяет длительность выполнения процедуры  вычеслений. Чтобы обеспечить требуемый уровень надежности , показатель степени, являющийся секретным ключом , должен быть достаточно большим , поэтому  для вычислений требуется  много времени.

          Производительность вычислительных устройств с недавнего времени принято оценивать в MIPS ( Million Instruction Per Second): 1MIPS=10^6  опер./с.

         MIPS года – такая сложность алгоритма, которая требует годовой работы компьютера чтобы его вскрыть.

          По отношению к эллиптическим кривым производительность 1 MIPS  соответствует примерно 4*10^4 операций сложения кривой в секунду, поскольку длина ключа существенно превышает  длину еденицы данных. У стойчивость алгоритмов криптографии принято оценивать в MIPS годах . Иначе говоря , устойчивость – это число лет непрерывной работы , необходимое  вычислителю с производительностью 1 MIPS ,чтобы взломать данный шифр.

Время на взлом MIPS лет		Размер ключа RSA/DSA		Размер ключа ЕСС		Отношение длин ключей RSA/DSA
10^4		512		106		5:1
10^8		768		132		6:1
10^11		1.024		160		7:1
10^20		2.048		210		10:1
10^78		21		600		35:1

Таблица 3.1. Сравнение размеров ключей , необходимых для обеспечения эквивалентных уровней безопасности.

Программные выполнение на SPARC IPC  исполняют 2,000 эллиптических сложений кривой в секунду. Тогда число эллиптических сложений кривой, которые могут быть выполнены 1 механизмом MIPS в одном году:

(4 x 104) • (60 x 60 x 24 x 365) " 240.

Например, если 10,000 компьютеров каждый в 1,000 MIPS  году доступн, то эллиптическая кривая дискретного логарифма может быть вычислена через 96,000 лет.

Разложение на множетели

Как с целочисленной проблемой факторизации, имеются два типа алгоритмов для решения дискретной проблемы логарифма. Специализированные алгоритмы пытаются эксплуатировать специальные особенности главной с. Текущие времена универсальных алгоритмов зависят только от размера с.

Самые быстрые универсальные алгоритмы, известные за решение процессора передачи данных ,основаны на методе называемом конкрементом индекса. В этом методе создана база данных маленьких штрихов и их соответствующих логарифмов,  в последствии за которой логарифмы произвольных полевых элементов могут быть легко получены. Это напоминание о методах основы множителя для целочисленной факторизации. По этой причине, если уточнение в алгоритмах для IFP или процессора передачи данных найдено, то вскоре подобный улучшенный алгоритм может ожидаться, чтобы быть решеным в пользу другай проблемы. С методами разложения на множители, алгоритмы конкремента индекса могут быть легко параллелизованы.

В случае с разложением на множители, лучшим текущим алгоритмом является процессор передачи данных - решето поля цифр. Он имеет то же самое асимптотическое текущее время , как соответствующий алгоритм для целочисленной факторизации. Это может свободно интерпретироваться с  таким сообщением: что обнаружение логарифмов в случае k-бита главного модуля p

стольже трудно как разложение на множители k-бит составного число n.

Выполнение дискретных алгоритмов логарифма отстало от аналогичных усилий для разложения на множители целых чисел. В 1990  Брайен ЛаМакчия и O.Эндрю использовали вариант метода конкремента индекса, называемого методом Комплексного целого числа вычисляемого дискретный модуль логарифмов 191-разрядный штрих. Раньше Вебер, Дэнни и Зауер (студенты в Universitaet des Saarlandes, Германия) вычислили дискретный модуль логарифмов 248-разрядный штрих, используя решето поля цифр.

         Проект, инициализированный в Университете Waterloo (Канады) пытается улучшать эту технологию, и в теории и в практике с целью принятия модуля логарифмов штрих p длины более 400 битов. Лучшие оценки состоят в том, что эта цель далека от достижения на несколько лет. Можно сказать, что принятие модуля логарифмов 512-разрядный штрих p останется труднообрабатываемым в течение следующих трех или четырех лет. На сравнении, 512-разрядный RSA модуль будет вероятно разложен на множители в пределах года или около этого.

Тем не менее, для долгой защиты, 1024-разрядный или больший moduli p должен использоваться в дискретных системах шифрования логарифма.

Разложения на множетели

Имеются в основном два типа специализированных и универсальных алгоритмов разложения на множители. Специализированные алгоритмы разложения на множители пытаются эксплуатировать специальные особенности номера n разлагаемого на множители. Текущие времена универсальных алгоритмов разложения на множители зависят только от размера n.

Один из наиболее мощных специализированных алгоритмов разложения на множители - эллиптический метод разложения на множители кривой (режим исправления ошибок), который был изобретен в 1985 Х.Ленстром младшим. Текущее время этого метода зависит от размера главных множителей n, и следовательно алгоритм имеет тенденцию находить сначала маленькие множители. 21 июня  1995  Andreas Mueller (студент в Universitaet des Saarlandes, Германия) объявил, что он нашел  44-десятичную цифру  с 147-разрядным множителем   99-десятичной цифрой  с 329-разрядным составным целым числом, используя режим исправления ошибок. Вычисление было выполнено на сети АРМ, и долговечность была приблизительно 60 MIPS годы. Самый большой главный множитель, найденный к настоящему времени режимом исправления ошибок - 47-десятичная цифра  с 157-разрядным главным множетелем  135-десятичной цифры 449-разрядный номер. До развития RSA системы шифрования, лучший универсальный алгоритм разложения на множители был алгоритм цепной дроби , который имел числа множителя до 40 десятичных цифр (133 бита). Этот алгоритм был основан на идее относительного использования основы множителя штрихов и производства связанного с набором линейных уравнений, чее решение в конечном счете вело к факторизации. Та же самая идея лежит в основе лучших универсальных алгоритмов, используемых сегодня: квадратичное решето (QS) и решето поля цифр (NFS). Оба эти алгоритмы могут быть легко параллелизованы, чтобы разрешить разложение на множители на распределительных сетях АРМ. Квадратичное решето было разработано Карлом Померансом 1984. Первоначально, это применялось к числам множителя в 70-десятичной цифре  233-разрядный диапазон. В 1994  это использовалось группой исследователей во главе с А.Ленстром к множителю 129-десятичной цифры 429-разрядного номера проблемы RSA, который был изложен Мартином Гарднером 14 1977. Факторизация была выполнена через 8 месяцев примерно на 1600 компьютерах во всем мире. Долговечность для факторизации была оценена как 5000 MIPS годы.

Сначала было разработано в 1989 , что Решето поля цифр работает лучше всего на числах специальной формы. Алгоритм привык к множителю 155-десятичной цифры 513-разрядного номера. Это было впоследствии расширено к универсальному алгоритму факторизациию.  Эксперименты доказали, что NFS является действительно превосходящим алгоритмом для целых чисел разложения на множители, имеющих по крайней мере 120 десятичных цифр (400 битов). В 1996, группа во главе с А.Ленстром использовала NFS к множителю 130-десятичной цифры 432-разрядного номера. Это - самый большой номер, разложенный на множители до настоящего времени. Факторизация, как оценивали,  брала меньше чем 15 % из 5000 MIPS годы, которые требовались для факторизации 129-десятичной цифры проблемы RSA. Разложение на множители 155 десятичной цифры 512-разрядного номера могло брать меньше усилия  в 5 раз. 512-разрядный модуль n обеспечивает только крайнюю защиту , когда используется в RSA системе шифрования.

Шифрование с помощью аналитических преобразований

Достаточно надежное закрытие информации может быть обеспечено при использовании для шифрования некоторых аналитических преобразований. Для этого нужно использовать методы алгебры матриц , например , умножение матрицы на вектор по правилу:

                                   ||  aij || bj  =  cj  =S aij bj

         Если матрицу  ||  aij ||  использовать в качестве ключа , а вместо компонента вектора bj  подставить символы текста , то компоненты вектора  cj  будут представлять собой символы зашифрованного текста.

         Приведем пример , взяв в качестве ключа  квадратную матрицу третьего порядка

            14  8  3

             8    5  2

             3    2  1

           Заменим буквы алфавита цифрами, соответствующими порядковому номеру в алфавите. Тогда отрывку текста  ВАТАЛА соответствует последовательность номеров 3,0,19,0,12,0. По принятому алгоритму шифрования выполним необходимые действия:

14  8   3          3               99                   14   8   3              0               96

 8    5   2   *     0       =     62        ;           8   5   2        *    12      =     60

 3   2   1          19             28                     3   2   1              0               24

          При этом зашифрованый текст будет иметь вид:99,62,28,96,60,24.

Расшифрование осуществляетсяс использованием того же правила умножения матрицы на вектор, только в качестве основы берется матрица, обратная той, с помощью которой осуществляется закрытие, а в качестве вектора-самножителя – соответствующие колличество символов закрытого текста; тогда значениями вектора-результата будут цифровые эквиваленты знаков открытого текста. Обратной к данной называется матрица, полущающая из так называемой присоединенной матрицы делением всех ее элементов на  определитель данной матрицы. В свою очередь присоединенной называется матрица, составленная из алгеброических дополнений А ,к элементам данной матрицы, которые вычисляются по формуле:        Aij = (-1)^i+j Dij ,

где Dij – определитель матрицы, получаемый вычеркиванием i-й ее строки и j-го столбца. Определителем же как известно, называется алгеброическая сумма n! членов (для определения n-ого порядка), составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член суммы берется со знаком ''+'', если его индексы составлят подставку, и со знаком ''-''  -  в противоположном случае. Для матрицы третьего порядка, например, определитель вычисляется по следующей формуле:

D=а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-а11а23а32-а12а21а33-а13а22а31.

Тогда процесс раскрытия выглядит так:



 1   -2    1              99                       1*99-2*62+1*28                     3

-2    5   -4     *      62        =           -2*99+5*62-4*28          =         0

 1  -4    6               28                      1*99-4*62+6*28                     19  

     

 1   -2    1                96                       1*96-2*60+1*24                     0

2    5   -4      *        60        =           -2*96+5*60-4*24          =         12

1  -4    6                 24                      1*96-4*60+6*24                     0  

         

             Таким образом, получили следующюю последовательность знаков раскрытого текста:3,0,19,0,12,0, что соответствует исходному тексту. Этот метод шифрования является формальнным , что позволяет легко реализовать его программными средствами.

Сис­те­мы под­ста­но­вок

Определение Подстановкой p на алфавите Zm называется автоморфизм Zm, при котором буквы исходного текста t замещены буквами шифрованного текста p(t):

Zm à Zm; p: t à p(t).

Набор всех подстановок называется симметрической группой Zm è будет в дальнейшем обозначаться как SYM(Zm).

Утверждение SYM(Zm) c операцией произведения является группой, т.е. операцией, обладающей следующими свойствами:

1.Замкнутость: произведение подстановок p1p2 является подста­новкой:

p: tàp1(p2(t)).

2.Ассоциативность: результат произведения p1p2p3 не зависит от порядка расстановки скобок:

(p1p2)p3=p1(p2p3)

3.Существование нейтрального элемента: постановка i, опре­деляемая как i(t)=t, 0£t<m, является нейтральным элементом SYM(Zm) по операции умножения: ip=pi для "pÎSYM(Zm).

4.Существование обратного: для любой подстановки p существует единственная обратная подстановка p-1, удовлетворя­ющая условию

pp?1=p?1p=i.

Число возможных подстановок в симметрической группе Zm называется порядком SYM(Zm) и равно m! .

Определение. Ключом подстановки k для Zm называется последовательность элементов симметрической группы Zm:

k=(p0,p1,...,pn-1,...), pnÎSYM(Zm), 0£n<¥

Подстановка, определяемая ключом k, является крипто­гра­фи­ческим преобразованием Tk, при помощи которого осуществляется преоб­разование n-граммы исходного текста (x0 ,x1 ,..,xn-1) в n-грамму шифрованного текста (y0 ,y1 ,...,yn-1):

yi=p(xi),   0£i<n

где n – произвольное (n=1,2,..). Tk называется моноалфавитной под­ста­новкой, если p неизменно при любом i, i=0,1,..., в  противном случае Tk называется многоалфавитной подстановкой.

Примечание. К наиболее существенным особенностям подста­новки Tk относятся следующие:

1. Исходный текст шифруется посимвольно. Шифрования n-граммы (x0 ,x1 ,..,xn-1) и ее префикса (x0 ,x1 ,..,xs-1) связаны соотношениями

Tk(x0 ,x1 ,..,xn-1)=(y0 ,y1 ,...,yn-1)

Tk(x0 ,x1 ,..,xs-1)=(y0 ,y1 ,...,ys-1)

2. Буква шифрованного текста yi является функцией только i-й компоненты ключа pi  и i-й буквы исходного текста xi.

Системы с открытым ключом

Как бы ни бы­ли слож­ны и на­деж­ны крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы - их сла­бое ме­ст при прак­ти­че­ской реа­ли­за­ции - про­блема рас­пре­де­ле­ния клю­чей. Для то­го, что­бы был воз­мо­жен об­мен кон­фи­ден­ци­аль­ной ин­фор­ма­ци­ей ме­ж­ду дву­мя субъ­ек­та­ми ИС, ключ дол­жен быть сге­не­ри­ро­ван од­ним из них, а за­тем ка­ким-то об­ра­зом опять же в кон­фи­ден­ци­аль­ном по­ряд­ке пе­ре­дан дру­го­му. То есть ,  в об­щем слу­чае для пе­ре­да­чи клю­ча опять же тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние ка­кой-то крип­то­си­сте­мы.

Для ре­ше­ния этой про­бле­мы на ос­но­ве ре­зуль­та­тов, по­лу­чен­ных классической и со­вре­мен­ной ал­геб­рой, бы­ли пред­ло­же­ны сис­те­мы с от­кры­тым клю­чом.

Суть их со­сто­ит в том, что ка­ж­дым ад­ре­са­том ИС ге­не­ри­ру­ют­ся два клю­ча, свя­зан­ные ме­ж­ду со­бой по оп­ре­де­лен­но­му пра­ви­лу. Один ключ объ­яв­ля­ет­ся от­кры­тым, а дру­гой за­кры­тым. От­кры­тый ключ пуб­ли­ку­ет­ся и дос­ту­пен лю­бо­му, кто же­ла­ет по­слать со­об­ще­ние ад­ре­са­ту. Секретный ключ сохраняется в тайне.

Ис­ход­ный текст шиф­ру­ет­ся от­кры­тым клю­чом адресата и пе­ре­да­ет­ся ему. За­шиф­ро­ван­ный текст в прин­ци­пе не мо­жет быть рас­шиф­ро­ван тем же от­кры­тым клю­чом. Де­шиф­ро­ва­ние со­об­ще­ние воз­мож­но толь­ко с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­кры­то­го клю­ча, ко­то­рый из­вес­тен толь­ко са­мо­му ад­ре­са­ту.

Рис.2.1.Реализация процедуры шифрования с открытым ключом.

Крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы с от­кры­тым клю­чом ис­поль­зу­ют так называемые  не­об­ра­ти­мые  или од­но­сто­рон­ние функ­ции, ко­то­рые об­ла­да­ют сле­дую­щим свой­ст­вом: при за­дан­ном зна­че­нии x от­но­си­тель­но про­сто вы­чис­лить зна­че­ние f(x), од­на­ко ес­ли y=f(x), то нет про­сто­го пу­ти для вы­чис­ле­ния зна­че­ния x.

Мно­же­ст­во клас­сов не­об­ра­ти­мых функ­ций и по­ро­ж­да­ет все раз­но­об­ра­зие сис­тем с от­кры­тым клю­чом. Од­на­ко не вся­кая не­об­ра­ти­мая функ­ция го­дит­ся для ис­поль­зо­ва­ния в ре­аль­ных ИС.

В са­мом оп­ре­де­ле­нии не­об­ра­ти­мо­сти при­сут­ст­ву­ет не­оп­ре­де­лен­ность. Под необратимостью понимается не теоретическая необратимость, а практическая невозможность вычислить обратное значение используя современные вычислительные средства за обозримый интервал времени.

По­это­му что­бы га­ран­ти­ро­вать на­деж­ную за­щи­ту ин­фор­ма­ции, к сис­те­мам с от­кры­тым клю­чом (СОК) предъ­яв­ля­ют­ся два важ­ных и оче­вид­ных тре­бо­ва­ния:

1. Пре­об­ра­зо­ва­ние ис­ход­но­го тек­ста долж­но быть не­об­ра­ти­мым и ис­клю­чать его вос­ста­нов­ле­ние на ос­но­ве от­кры­то­го клю­ча.



2. Оп­ре­де­ле­ние за­кры­то­го клю­ча на ос­но­ве от­кры­то­го так­же долж­но быть не­воз­мож­ным на со­вре­мен­ном тех­но­ло­ги­че­ском уров­не. При этом же­ла­тель­на точ­ная ниж­няя оцен­ка сложности (ко­ли­че­ст­ва опе­ра­ций) рас­кры­тия шиф­ра.

Ал­го­рит­мы шиф­ро­ва­ния с от­кры­тым клю­чом по­лу­чи­ли ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние в со­вре­мен­ных ин­фор­ма­ци­он­ных сис­те­мах. Так, ал­го­ритм RSA стал ми­ро­вым стан­дар­том де-фак­то для от­кры­тых сис­тем и ре­ко­мен­до­ван МККТТ.

Вообще же все предлагаемые сегодня криптосистемы с открытым ключом опираются на один из следующих типов необратимых преобразований:

1. Разложение больших чисел ан простые множители.

2. Вычисление логарифма в конечном поле.

3. Вычисление корней алгебраических уравнений.

Здесь же  сле­ду­ет от­ме­тить, что ал­го­рит­мы криптосистемы с открытым ключом (СОК) мож­но ис­поль­зо­вать в трех на­зна­че­ни­ях.

1. Как са­мо­стоя­тель­ные сред­ст­ва за­щи­ты пе­ре­да­вае­мых и хра­ни­мых дан­ных.

2. Как сред­ст­ва для рас­пре­де­ле­ния клю­чей. Ал­го­рит­мы СОК бо­лее тру­до­ем­ки, чем тра­ди­ци­он­ные крип­то­си­сте­мы. По­это­му час­то на прак­ти­ке ра­цио­наль­но с по­мо­щью СОК рас­пре­де­лять клю­чи, объ­ем ко­то­рых как ин­фор­ма­ции не­зна­чи­те­лен. А по­том с по­мо­щью обыч­ных ал­го­рит­мов осу­ще­ст­в­лять об­мен боль­ши­ми ин­фор­ма­ци­он­ны­ми по­то­ка­ми.



3. Сред­ст­ва ау­тен­ти­фи­ка­ции поль­зо­ва­те­лей. Об этом бу­дет рас­ска­за­но в главе «Электронная подпись».

Ниже рассматриваются наиболее распространенные системы с открытым ключом.

Не­смот­ря на до­воль­но боль­шое чис­ло раз­лич­ных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и по­лу­чив­шая на­зва­ние в честь ее соз­да­те­лей: Рона Ри­ве­ста[4], Ади Ша­ми­ра и Леонарда Эй­дель­ма­на.

Они вос­поль­зо­ва­лись тем фак­том, что на­хо­ж­де­ние боль­ших про­стых чи­сел в вы­чис­ли­тель­ном от­но­ше­нии осу­ще­ст­в­ля­ет­ся лег­ко, но раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли про­из­ве­де­ния двух та­ких чи­сел прак­ти­че­ски не­вы­пол­ни­мо. До­ка­за­но (тео­ре­ма Ра­би­на), что рас­кры­тие шиф­ра RSA эк­ви­ва­лент­но та­ко­му раз­ло­же­нию. По­это­му для лю­бой дли­ны клю­ча мож­но дать ниж­нюю оцен­ку чис­ла опе­ра­ций для рас­кры­тия шиф­ра, а с уче­том про­из­во­ди­тель­но­сти со­вре­мен­ных ком­пь­ю­те­ров оце­нить и не­об­хо­ди­мое на это вре­мя.

Воз­мож­ность га­ран­ти­ро­ван­но оце­нить за­щи­щен­ность ал­го­рит­ма RSA ста­ла од­ной из при­чин по­пу­ляр­но­сти этой СОК на фо­не де­сят­ков дру­гих схем. По­это­му ал­го­ритм RSA ис­поль­зу­ет­ся в бан­ков­ских ком­пь­ю­тер­ных се­тях, осо­бен­но для ра­бо­ты с уда­лен­ны­ми кли­ен­та­ми (об­слу­жи­ва­ние кре­дит­ных кар­то­чек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTP, S-MIME, S/WAN, STT и  PCT.

Системы шифрования Вижинера

Начнем с конечной последовательности ключа

k = (k0 ,k1 ,...,kn),

которая называется ключом пользователя, и продлим ее до бесконечной последовательности, повторяя цепочку. Таким образом, получим рабочий ключ

k = (k0 ,k1 ,...,kn), kj = k(j mod r, 0 £ j < ¥ .

Например, при r = ¥ и ключе пользователя 15 8 2 10 11 4 18 рабочий ключ будет периодической последовательностью:

15 8 2 10 11 4 18 15 8 2 10 11 4 18 15 8 2 10 11 4 18 ...

 

Определение. Подстановка Вижинера VIGk определяется как

 VIGk : (x0, x1, ..., xn-1) ® (y0, y1, ..., yn-1) = (x0+k, x1+k,. .., xn-1+k).

Таким образом:

1) исходный текст x делится на r фрагментов

 xi = (xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)), 0 £ i < r;

2) i-й фрагмент исходного текста xi шифруется при помощи подстановки Цезаря Ck :

(xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)) ® (yi , yi+r , ..., yi+r(n-1)),

Вариант системы подстановок Вижинера при m=2 называется системой Вернама (1917 г). В то время ключ k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) записывался на бумажной ленте. Каждая буква исходного переводилась с использованием кода Бодо в пятибитовый символ. К исходному тексту Бодо добавлялся ключ (по модулю 2). Старинный телетайп фирмы AT&T со считывающим устройством Вернама и оборудованием для шифрования, использовался корпусом связи армии США.

Очень распространена плохая с точки зрения секретности практика использовать слово или фразу в качестве ключа для того, чтобы k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) было легко запомнить. В ИС для обеспечения безопасности информации это недопустимо. Для получения ключей должны использоваться программные или аппаратные средства случайной генерации ключей.

Пример. Преобразование текста с помощью подстановки Вижинера (r=4)

Исходный текст (ИТ1):

НЕ_СЛЕДУЕТ_ВЫБИРАТЬ_НЕСЛУЧАЙНЫЙ_КЛЮЧ

Ключ: КЛЮЧ

Разобьем исходный текст на блоки по 4 символа:

НЕ_С ЛЕДУ ЕТ_В ЫБИР АТЬ_ НЕСЛ УЧАЙ НЫЙ_ КЛЮЧ

и наложим на них ключ (используя таблицу Вижинера):

H+К=Ч, Е+Л=Р и т.д.

Получаем зашифрованный (ЗТ1) текст:

ЧРЭЗ ХРБЙ ПЭЭЩ ДМЕЖ КЭЩЦ ЧРОБ ЭБЮ_ ЧЕЖЦ ФЦЫН

Можно выдвинуть и обобщенную систему Вижинера. ЕЕ можно сформулировать не только при помощи подстановки Цезаря.

Пусть x - подмножество симметрической группы SYM(Zm).

Определение. r-многоалфавитный ключ шифрования есть r-набор p = (p0, p1, ..., pr-1) с элементами в x.

Обобщенная система Вижинера преобразует исходный текст (x0, x1 ,..., xn-1) в шифрованный текст (y0 ,y1 ,...,yn-1) при помощи ключа p = (p0, p1, ..., pr-1) по правилу

VIGk : (x0 ,x1 ,...,xn-1) ® (y0 ,y1 ,...,yn-1) = (p0(х0), p1(х1), ..., pn-1(xn-1)), где используется условие pi = pi mod r. Следует признать, что и многоалфавитные подстановки в принципе доступны криптоаналитическому исследованию. Криптостойкость многоалфавитных систем резко убывает с уменьшением длины ключа.

Тем не менее такая система как шифр Вижинера допускает несложную аппаратную или программную реализацию и при достаточно большой длине ключа может быть использован в современных ИС.

Список литературы.

1.      Герасименко В.А. Защита информации в автоматизированных системах обработки данных кн. 1.-М.: Энергоатомиздат. -1994.-400с.

2.      Вербицкий О.В.Вступление к криптологии.- Львов.: Издательство науково-техничной литературы.-1998.-300с.

3.      Диффи У. Первые десять лет криптографии с открытым ключом  //ТИИЭР, т. 76(1988)б  Т5б с. 54-74.

4.      Герасименко В.А., Скворцов А.А., Харитонов И.Е. Новые направления применения  криптографических методов  защиты информации.- М.: Радио и связь.-1989.-360с.

5.      Миллер В. Использования эллиптических кривых в криптографии .: -1986.-417-426с.

6.      Галатенко В.А. Информационная безопасность. –М.: Финансы и статистика, 1997. –158 с.

7.      Грегори С. Смит. Программы шифрования данных // Мир ПК –1997. -№3. -С.58 - 68.

8.      Ростовцев А. Г., Михайлова Н. В. Методы криптоанализа классических шифров. –М.: Наука, 1995. –208 с.

9.      Терехов А. Н., Тискин А. В.  // Программирование РАН. –1994. -N 5  -С. 17—22.

10.  Криптология – наука о тайнописи // Компьютерное обозрение. –1999. -№3. –С. 10 – 17.

11.  Баричев С. В. Криптография без секретов. –М.: Наука, 1998. –120 с.

текста в алфавите, расширенном некоторыми дополнительными знаками, сначала

Конфиденциальность – информация, доступная строго определенному кругу лиц.

Стандарты кода с исправлением ошибок

Международная стандартизация систем засекречивания протоколов - важный процесс, который активно поддержан фирмой Certicom. Стандартизация имеет три главных выгоды. Сначала, это учитывает способность к взаимодействию среди аппаратных и программных систем от многих различных продавцов. Во вторых, это возводит в степень критический обзор защиты систем с криптографической точки зрения. Наконец, это разрешает вход в конструкцию систем шифрования от тех, кто должны осуществить их в широких пределах среды. Эллиптические Кривые - это  тема интенсивного исследования в математическом семействе много лет и теперь тщательно исследовались в организациях стандартов в течение более чем трех лет. Это дало инженерам - конструкторам высокий доверительный коэффициент в их защите, которая не могла быть достигнута через поддержку только несколько организаций.

Извлечение корня стандартов - критическая партия принятая любой системой засекречивания. Стандартизация кода с исправлением ошибок поощрила ее принятие организациями во всем мире. Кроме того, это продвинуло образование многих шифровальщиков, разработчиков, и проектирует в математическом основании кода с исправлением ошибок и в его важности в достижения практических, эффективных общее - ключевых основанных систем.

Следующие инициативы стандартов кода с исправлением ошибок - в настоящее время на ходу:

ИИЭР P1363 - код с исправлением ошибок включен в проект ИИЭРА P1363 стандарт (Технические условия для Шифрования с открытым ключом), который включает кодирование, сигнатуру, и ключевые механизмы соглашения. Эллиптические кривые могут быть определены по модулю р. или по F2m, поле с 2m элементы, для соответствия со стандартом. ANSI X9 - код с исправлением ошибок содержится в двух  работах, созданных Американским Институтом Национальных эталонов (ANSI) ASC X9 (Службы финансового довольствия): ANSI X9.62, Эллиптический Алгоритм Цифрового представления Кривой (ECDSA); и ANSI X9.63, Эллиптическое Соглашение ключа Кривой и Транспортные Протоколы .

ISO/IEC - проект документа ISO/IEC 14888: Цифровое представление с приложением - Партия 3: Свидетельство основанные механизмы определяют эллиптические аналоги кривой некоторых Elgamal-подобных алгоритмов сигнатуры.

IETF - OAKLEY Ключевой Протокол Определения  Internet, проектирующего Оперативное соединение (IETF),описывает ключевой протокол реализации соглашения, который является вариантом Diffie-Hellman протокола. Это учитывает ряд групп, которые нужно использовать, включая эллиптические кривые. Документ делает определенное упоминание об эллиптических группах кривых по полям F2155 и F2210.

Форум ATM - Форум ATM Стадия Технического Комитета я проект документа Технических требований Защиты ATM стремится обеспечивать механизмы защиты для ATM сетей (Режимов асинхронной передачи). Службы безопасности обеспечили, конфиденциальность, идентификацию, целостность данных, и управление доступом. Код с исправлением ошибок - одна из поддержанных систем.

Большинство этих стандартов описывается в алгоритме независимым способ так, чтобы любой признанный общее - ключевой алгоритм мог быть реализован. Это позволит использовать алгоритмы, типа кода с исправлением ошибок, в средах, где другие криптосистемы с ключом общего пользования были бы непрактичны.

Типы криптографических услуг

Сегодня безопасные решения используют некоторую комбинацию из пяти  различных криптографических услуг. Эти услуги:

        Проверка пользователя – введением пути в оперативную транзакцию, пользователь подтверждает, что это именно он.

      Идентификация Начала координат Данных - обеспечение источника сообщения.

     Целостность Данных - обеспечение сохранения данных неправомочными сторонами.

     Не отказ -  получатель транзакции способен демонстрировать нейтральному третьему лицу, что требуемый передатчик действительно посылал транзакцию.

Существуют два главных типа криптографии симметрично - ключевые и шифрование с открытым ключом, которые основаны на комплексных математических алгоритмах и управляются ключами. Симметрично - ключевые схемы криптографии требуют две стороны, которые хотят войти в доверие, чтобы разделить общий, секретный ключ. Каждый пользователь должен доверять другому, чтобы не обнародовать общий ключ третьему лицу. Эти системы эффективно зашифруют большое колличество данных ; однако, они излагают существенные ключевые проблемы управления в сетях больше чем в маленьком числе пользователей, и обычно используются вместе с шифрованием с открытым ключом.

В системах шифрования отправитель сообщения шифрует его открытым ключом получателя. Получатель расшифровывает это сообщение своим личным (секретным) ключом. Имея открытый ключ получателя, каждый момент послать ему сообщение ,а прочитать его может только обладатель личного ключа. При этом получить личный ключ из открытого с помощью каких-либо математических операций невозможно.

 В системах цифровой лодписи подпись ''накладывается'' с использованием секретного ключа , а снимается с помощью открытого отправителя .   

Схемы Шифрования с открытым ключом требуют, чтобы каждая сторона имела ключевую пару: секретный ключ, который не должен быть раскрыт другому пользователю, и общий ключ, который может быть  доступным в общем каталоге. Эти два ключа связаны жесткой односторонней функцией, так что в вычислительном отношении неосуществимо определить секретный ключ от общего ключа. Секретный ключ часто сохраняется в программном обеспечении  с использованием пароля; однако, секретный ключ должен идеально быть сохранен в безопасной аппаратной лексеме, которая предотвращает прямой доступ или вмешательство.

Криптосистемы с ключом общего пользования решают ключевые проблемы управления, связанные с симметрично - ключевым кодированием; однако, шифрование с открытым ключом предлагает способность эффективно осуществить цифровые представления.

В в е д е н и е

Про­бле­ма за­щи­ты ин­фор­ма­ции пу­тем ее пре­об­ра­зо­ва­ния, исключающего ее про­чте­ние по­сто­рон­ним ли­цом вол­но­ва­ла че­ло­ве­че­ский ум с дав­них вре­мен. История криптографии - ровесница истории человеческого языка. Более того, первоначально письменность сама по себе была криптографической системой, так как в древних обществах ею владели только избранные. Священные книги Древ­него Егип­та, Древ­ней Индии тому примеры.

С широким распространением письменности криптография стала формироваться как самостоятельная наука. Первые криптосистемы встречаются уже в начале нашей эры. Так, Цезарь в своей переписке использовал уже более менее систематический шифр, получивший его имя.

Бурное раз­ви­тие крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы по­лу­чи­ли в го­ды пер­вой и вто­рой ми­ро­вых войн. Начиная с послевоенного времени и по нынешний день появление вычислительных средств ускорило разработку и совершенствование  криптографических методов.

Криптографические методы защиты информации в автоматизированных системах могут применяться как для защиты информации, обрабатываемой в ЭВМ или хранящейся в различного типа ЗУ, так и для закрытия информации, передаваемой между различными элементами системы по линиям связи. Криптографическое преобразование как метод предупреждения несационированного доступа к информации имеет многовековую историю. В настоящее время разработано большое колличество различных методов шифрования, созданы теоретические и практические основы их применения. Подавляющие число этих методов может быть успешно использовано и для закрытия информации. Под шифрованием в данном едаваемых сообщений, хра­не­ние ин­фор­ма­ции (до­ку­мен­тов, баз данных) на но­си­те­лях в за­шиф­ро­ван­ном ви­де.

По­че­му про­бле­ма ис­поль­зо­ва­ния крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов в информационных системах (ИС) ста­ла в на­стоя­щий мо­мент осо­бо ак­ту­аль­на?

С од­ной сто­ро­ны, рас­ши­ри­лось ис­поль­зо­ва­ние ком­пь­ю­тер­ных се­тей, в частности глобальной сети Интернет, по ко­то­рым пе­ре­да­ют­ся боль­шие объ­е­мы ин­фор­ма­ции го­су­дар­ствен­но­го, во­ен­но­го, ком­мер­че­ско­го и ча­ст­но­го ха­рак­те­ра, не до­пус­каю­ще­го воз­мож­ность дос­ту­па к ней по­сто­рон­них лиц.

С дру­гой сто­ро­ны, по­яв­ле­ние но­вых мощ­ных ком­пь­ю­те­ров,  тех­но­ло­гий се­те­вых и ней­рон­ных вы­чис­ле­ний сде­ла­ло воз­мож­ным дис­кре­ди­та­цию криптографических сис­тем еще не­дав­но счи­тав­ших­ся  прак­ти­че­ски не раскрываемыми.

Про­бле­мой защиты информации путем ее преобразования за­ни­ма­ет­ся крип­то­ло­гия (kryptos - тай­ный, logos - нау­ка). Криптология раз­де­ля­ет­ся на два на­прав­ле­ния - крип­то­гра­фию и крип­тоа­на­лиз. Це­ли этих на­прав­ле­ний прямо про­ти­во­по­лож­ны.

Крип­то­гра­фия за­ни­ма­ет­ся по­ис­ком и ис­сле­до­ва­ни­ем ма­те­ма­ти­че­ских ме­то­дов пре­об­ра­зо­ва­ния ин­фор­ма­ции.

Сфе­ра ин­те­ре­сов криптоанализа -  ис­сле­до­ва­ние воз­мож­но­сти рас­шиф­ро­вы­ва­ния ин­фор­ма­ции без зна­ния клю­чей.

Современная криптография включает в себя четыре крупных раздела:

1. Симметричные криптосистемы.

2. Криптосистемы с открытым ключом.

3. Системы электронной подписи.

4. Управление ключами.



Основные направления  использования криптографических методов - передача конфиденциальной информации по каналам связи (например, электронная почта), установление подлинности передаваемых  сообщений ,хранение информации (документов,баз данных) на носителях в зашифрованном виде.

 Криптографические методы защиты информации в автоматизированных системах могут применяться как для защиты информации, обрабатываемой в ЭВМ или хранящейся в различного типа ЗУ, так и для закрытия информации, передаваемой между различными элементами системы по линиям связи. Криптографическое преобразование как метод предупреждения несационированного доступа к информации имеет многовековую историю. В настоящее время разработано большое колличество различных методов шифрования, созданы теоретические и практические основы их применения. Подавляющие число этих методов может быть успешно использовано и для закрытия информации.

Итак, криптография дает возможность преобразовать информацию таким образом, что ее прочтение (восстановление) возможно только при знании ключа.

В качестве информации, подлежащей шифрованию и дешифрованию, будут рассматриваться тексты, построенные на некотором алфавите. Под этими терминами понимается следующее.

Алфавит - конечное множество используемых для кодирования информации знаков.

Текст - упорядоченный набор из элементов алфавита.

В качестве примеров алфавитов, используемых в современных ИС можно привести следующие:

алфавит Z33 - 32 буквы русского алфавита и пробел;

алфавит Z256 - символы, входящие в стандартные коды ASCII и КОИ-8;

бинарный алфавит - Z2 = {0,1};

восьмеричный алфавит или шестнадцатеричный алфавит;

Шиф­ро­ва­ние - пре­об­ра­зо­ва­тель­ный про­цесс: ис­ход­ный текст, ко­то­рый но­сит так­же на­зва­ние от­кры­то­го тек­ста, за­ме­ня­ет­ся шиф­ро­ван­ным тек­стом.

Дешифрование - обратный шифрованию процесс. На основе ключа шифрованный текст преобразуется в исходный.



Рис. 1. Процедура шифрования файлов.

Ключ - ин­фор­ма­ция, не­об­хо­ди­мая для бес­пре­пят­ст­вен­но­го шиф­ро­ва­ния и де­шиф­ро­ва­ния тек­стов.

Крип­то­гра­фи­че­ская сис­те­ма пред­став­ля­ет со­бой се­мей­ст­во T пре­об­ра­зо­ва­ний от­кры­то­го тек­ста. Чле­ны это­го се­мей­ст­ва ин­дек­си­ру­ют­ся, или обо­зна­ча­ют­ся сим­во­лом k; па­ра­метр k яв­ля­ет­ся клю­чом. Про­стран­ст­во клю­чей K - это на­бор воз­мож­ных зна­че­ний клю­ча. Обыч­но ключ пред­став­ля­ет со­бой по­сле­до­ва­тель­ный ряд букв ал­фа­ви­та.

Криптосистемы разделяются на симметричные и с открытым ключом.

В симметричных криптосистемах и для шифрования, и для дешифрования используется один и тот же ключ.

В системах с открытым ключом используются два ключа - открытый и закрытый, которые математически связаны друг с другом. Информация шифруется с помощью открытого ключа, который доступен  всем желающим, а расшифровывается с помощью закрытого ключа, известного только получателю сообщения.

Тер­ми­ны рас­пре­де­ле­ние клю­чей и управ­ле­ние клю­ча­ми от­но­сят­ся к про­цес­сам сис­те­мы об­ра­бот­ки ин­фор­ма­ции, со­дер­жа­ни­ем ко­то­рых яв­ля­ет­ся со­став­ле­ние и рас­пре­де­ле­ние клю­чей ме­ж­ду поль­зо­ва­те­ля­ми.

Электронной (цифровой) подписью называется присоединяемое к тексту его криптографическое преобразование, которое позволяет при получении текста другим пользователем проверить авторство и подлинность сообщения.



Крип­то­стой­ко­стью на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­ка шиф­ра, оп­ре­де­ляю­щая его стой­кость к де­шиф­ро­ва­нию без зна­ния клю­ча (т.е. крип­тоа­на­ли­зу). Имеется несколько показателей криптостойкости, среди которых:

количество всех возможных ключей;

среднее время, необходимое для криптоанализа.

Пре­об­ра­зо­ва­ние Tk оп­ре­де­ля­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щим ал­го­рит­мом и зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра k. Эф­фек­тив­ность шиф­ро­ва­ния с це­лью за­щи­ты ин­фор­ма­ции за­ви­сит от со­хра­не­ния тай­ны клю­ча и криптостойкости шифра.

Про­цесс крип­то­гра­фи­че­ско­го за­кры­тия данных мо­жет осу­ще­ст­в­лять­ся как про­грамм­но, так и аппаратно. Ап­па­рат­ная реа­ли­за­ция от­ли­ча­ет­ся су­ще­ст­вен­но боль­шей стои­мо­стью, од­на­ко ей при­су­щи и пре­иму­ще­ст­ва: вы­со­кая про­из­во­ди­тель­ность, про­сто­та, за­щи­щен­ность и т.д. Про­грамм­ная реа­ли­за­ция бо­лее прак­тич­на, до­пус­ка­ет из­вест­ную гиб­кость в ис­поль­зо­ва­нии.

Для со­вре­мен­ных крип­то­гра­фи­че­ских сис­тем за­щи­ты ин­фор­ма­ции сфор­му­ли­ро­ва­ны сле­дую­щие об­ще­при­ня­тые тре­бо­ва­ния:

за­шиф­ро­ван­ное сообщение дол­жно под­да­вать­ся чте­нию толь­ко при на­ли­чии клю­ча;

чис­ло опе­ра­ций, не­об­хо­ди­мых для оп­ре­де­ле­ния ис­поль­зо­ван­но­го клю­ча шиф­ро­ва­ния по фраг­мен­ту шиф­ро­ван­но­го сообщения и со­от­вет­ст­вую­ще­го ему от­кры­то­го тек­ста, долж­но быть не мень­ше об­ще­го чис­ла воз­мож­ных клю­чей;



чис­ло опе­ра­ций, не­об­хо­ди­мых для рас­шиф­ро­вы­ва­ния ин­фор­ма­ции пу­тем пе­ре­бо­ра все­воз­мож­ных ключей долж­но иметь стро­гую ниж­нюю оцен­ку и вы­хо­дить за пре­де­лы воз­мож­но­стей со­вре­мен­ных ком­пь­ю­те­ров ( с учетом возможности использования сетевых вычислений);

зна­ние ал­го­рит­ма шиф­ро­ва­ния не долж­но вли­ять на на­деж­ность за­щи­ты;

не­зна­чи­тель­ное из­ме­не­ние клю­ча долж­но при­во­дить к су­ще­ст­вен­но­му из­ме­не­нию ви­да за­шиф­ро­ван­но­го сообщения да­же при ис­поль­зо­ва­нии од­но­го и то­го же клю­ча;

струк­тур­ные эле­мен­ты ал­го­рит­ма шиф­ро­ва­ния долж­ны быть не­из­мен­ны­ми;

до­пол­ни­тель­ные би­ты, вво­ди­мые в сообщение в про­цес­се шиф­ро­ва­ния, должен быть пол­но­стью и на­деж­но скры­ты в шиф­ро­ван­ном тек­сте;

дли­на шиф­ро­ван­но­го тек­ста долж­на быть рав­ной дли­не ис­ход­но­го тек­ста;

не долж­но быть про­стых и лег­ко ус­та­нав­ли­вае­мых зависимостью ме­ж­ду клю­ча­ми, по­сле­до­ва­тель­но ис­поль­зуе­мы­ми в про­цес­се шиф­ро­ва­ния;

лю­бой ключ из мно­же­ст­ва возможных дол­жен обес­пе­чи­вать на­деж­ную за­щи­ту ин­фор­ма­ции;

ал­го­ритм должен до­пус­кать как про­грамм­ную, так и ап­па­рат­ную реа­ли­за­цию, при этом из­ме­не­ние длины к­лю­ча не долж­но вес­ти к ка­че­ст­вен­но­му ухуд­ше­нию алгоритма шифрования.

Выбор основного поля Fq и эллиптической кривой E

При установке режимов эллиптической системы шифрования кривой, имеются три основных пункта, которые должны быть сделаны:

1.            Выбор основного конечного поля Fq.

2.            Выбор представления для элементов Fq.

3.            Выбор эллиптической кривой E по Fq.

1.            Два наиболее общего выбора в практических приложениях для основного конечного поля - F2m и Fp (где p - вспомогательный штрих). ECDLP одинаково труден для образцов, которые используют F2m и для образцов , которые используют Fp, и где размеры 2m и p полей приблизительно равны. Не имелось никаких математических открытий до настоящего времени, которые показывают, что ECDLP для эллиптических кривых по F2m может быть  проще или тяжелее чем ECDLP для эллиптических кривых по Fp.

2.            Если поле F2m выбрано как основное конечное поле, то имеются много путей, в которых элементы F2m могут быть представлены. Два наиболее эффективных пути : оптимальное , нормальное представление основания и полиномиальное представление основания. Так как элементы в одном представлении могут быть эффективно преобразованы к элементам в другом представлении,  используя соответствующую матрицу изменения основания, на   ECDLP не воздействует выбор представления.

4.                       MOV алгоритм приведения выдает  алгоритм для ECDLP, когда эллиптическая кривая суперсингулярна. В большенстве случаев эллиптические кривые являются не-суперсингулярными. Кроме того, можно легко  проверить действительно ли MOV алгоритм приведения выполним для данной эллиптической кривой – следовательно, этого разъедания легко избегают на практике. Также, можно легко  обнаружить  является ли данная кривая аномальной.  Разъедания на аномальной кривой легко избегают. При выборе не-суперсингулярной эллиптической кривой, можно выбирать кривую наугад, или можно выбирать кривую специальными свойствами, которые могут привести быстрее к эллиптической арифметике кривой. Пример специальной категории кривых, который был предложен - кривые Koblitz . ECDLP одинаково труден для образцов, которые используют беспорядочно сгенерированные кривые, и для тех, которые используют кривые Koblitz. Не имелось никаких математических открытий до настоящего времени, которые показывают, что ECDLP для беспорядочно сгенерированных эллиптических кривых -  проще или тяжелее чем ECDLP для кривых Koblitz.

По сути это то же

Выбор для кон­крет­ных ИС дол­жен быть ос­но­ван на глу­бо­ком ана­ли­зе сла­бых и силь­ных сто­рон тех или иных ме­то­дов за­щи­ты. Обос­но­ван­ный вы­бор той или иной сис­те­мы за­щи­ты в об­щем-то дол­жен опи­рать­ся на ка­кие-то кри­те­рии эф­фек­тив­но­сти. К со­жа­ле­нию, до сих пор не раз­ра­бо­та­ны под­хо­дя­щие ме­то­ди­ки оцен­ки эф­фек­тив­но­сти крип­то­гра­фи­че­ских сис­тем.
Наи­бо­лее про­стой кри­те­рий та­кой эф­фек­тив­но­сти - ве­ро­ят­ность рас­кры­тия клю­ча или мощ­ность мно­же­ст­ва клю­чей (М). По сути это то же самое, что и криптостойкость. Для ее численной оценки можно использовать также и сложность раскрытия шифра путем перебора всех ключей.
Од­на­ко, этот кри­те­рий не учи­ты­ва­ет других важных требований к криптосистемам:
невоз­мож­ность рас­кры­тия или ос­мыс­лен­ной мо­ди­фи­ка­ции ин­фор­ма­ции на ос­но­ве ана­ли­за ее струк­ту­ры,
со­вер­шен­ст­во ис­поль­зуе­мых про­то­ко­лов за­щи­ты,
минимальный объ­ем ис­поль­зуе­мой клю­че­вой ин­фор­ма­ции,
минимальная слож­ность реа­ли­за­ции (в ко­ли­че­ст­ве ма­шин­ных опе­ра­ций), ее стои­мость,
высокая опе­ра­тив­ность.
Же­ла­тель­но ко­неч­но ис­поль­зо­ва­ние не­ко­то­рых ин­те­граль­ных по­ка­за­те­лей, учи­ты­ваю­щих ука­зан­ные фак­то­ры.
Для уче­та стои­мо­сти, тру­до­ем­ко­сти и объ­е­ма клю­че­вой ин­фор­ма­ции мож­но ис­поль­зо­вать удель­ные по­ка­за­те­ли - от­но­ше­ние ука­зан­ных па­ра­мет­ров к мощ­но­сти мно­же­ст­ва клю­чей шифра.


Час­то бо­лее эф­фек­тив­ным при вы­бо­ре и оцен­ке крип­то­гра­фи­че­ской сис­те­мы яв­ля­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние экс­перт­ных оце­нок и ими­та­ци­он­ное мо­де­ли­ро­ва­ние.
В лю­бом слу­чае вы­бран­ный ком­плекс крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов дол­жен со­че­тать как удоб­ст­во, гиб­кость и опе­ра­тив­ность ис­поль­зо­ва­ния, так и на­деж­ную за­щи­ту от зло­умыш­лен­ни­ков цир­ку­ли­рую­щей в ИС ин­фор­ма­ции.
Эллиптические функции также относятся к симметричным методам шифрования  .
Эллиптические кривые – математические объекты, которые математики интенсивно изучают начиная с 17 – го века. Н.Коблиц и В. Миллер независимо друг от друга  предложили системы системы криптозащиты с открытым ключом , использующие для шифрования свойства аддитивной группы точек  на эллиптической кривой. Эти работы легли в основу криптографии на основе алгоритма эллиптических кривых.
 Множество исследователей и разработчиков  испытывали алгоритм  ЕСС на прочность. Сегодня  ЕСС предлагает более короткий и быстрый открытый ключ , обеспечивающий практичную и безопасную технологию , применимую в различных областях . Применение криптографии на основе алгоритма ЕСС не требует дополнительной аппаратной поддержки в виде криптографического сопроцессора . Всё это позволяет уже сейчас применять криптографические системы с открытым ключом и для создания недорогих смарт-карт.
В соответствии с законодательством США (соглашение International Traffic in Arms Peguiation), криптографические устройства , включая программное обеспечение , относится к системам вооружения .
Поэтому при экспорте  программной продукции , в которой используется криптография , требуется разрешение Госдепартамента.  Фактически экспорт криптографической продукции контролирует NSA (National Security Agency). правительство США  очень неохотно выдаёт подобные лицензии , поскольку это может нанести  ущерб национальной безопасности  США. Вместе с тем совсем недавно компании Newlett –Packard  выдано разрешение на экспорт её криптографического комплекса Ver Secure в Великобританию , Германию, Францию , Данию и Австралию. Теперь Н Р может эксплуатировать в эти страны системы , использующие 128- битный криптостандарт Triple DES ,который считается абсолютно надёжным.

---

---